日常生活中,火车站、机场等场所的工作人员有时需要为旅客打包行李.现有一个长、宽、高分别为$a$厘米、$b$厘米、$20$厘米的箱子（其中$a \gt b)$,准备采用如图①、②的两种打包方式,所用打包带的总长（不计接头处的长）分别记为$l_{1}$、$l_{2}$.

$(1)$图①中打包带的总长$l_{1}=$______厘米；(用含$a$,$b$的代数式表示,并化简）
图②中打包带的总长$l_{2}=$______厘米；(用含$a$,$b$的代数式表示,并化简）
$(2)$试判断哪一种打包方式更节省材料,并说明理由；
$(3)$若$b=30$,$a$为正整数,在数轴上表示数$l_{1}$,$l_{2}$的两点之间（不包括表示数$l_{1}$,$l_{2}$的两点）有且只有$17$个整数点,求$a$的值.