【给出问题】如图$1$,正方形$ABCD$内接于$\odot O$,$P$是$\widehat {BC}$的中点,连接$AP$,$DP$.求证:$AP=DP$；
【深入思考】如图$2$,正方形$ABCD$内接于$\odot O$,点$P$为$BC$上任意一点,连接$PA$、$PB$、$PC$,请探究$PA$、$PB$、$PC$三者之间有何数量关系,并给予证明.
【拓展应用】如图$3$,若四边形$ABCD$是矩形,点$P$为边$AD$上一点,$\angle BPC=45^{\circ}$,$PA=1$,$PD=2$,试求矩形$ABCD$的面积.