已知点$B$,$C$,$D$是$\odot O$上的点,$\angle BCD=120^{\circ}$,点$C$是弧$BD$的中点.
$(1)$如图$1$,若$AC$是直径,$AB=\sqrt{3}$,求$AC$的长；
$(2)$如图$2$,若点$A$在优弧$BD$上,$AB=5$,$AD=3$,求$AC$的长；
$(3)$点$A$在$\odot O$上（与点$B$,$C$,$D$不重合）,直接写出弦$AB$,$AD$,$AC$之间的数量关系.