如图①,在矩形$ABCD$中,$AB=6$,$AD=10$,点$E$在边$BC$上,且$BE=4$,动点$P$从点$E$出发,沿折线$EB-BA-AD$以每秒$2$个单位长度的速度运动.作$\angle PEQ=90^{\circ}$,$EQ$交边$AD$或边$DC$于点$Q$,连接$PQ$.当点$Q$与点$C$重合时,点$P$停止运动.设点$P$的运动时间为$t$秒.$\left(t \gt 0\right)$
$(1)$当点$P$和点$B$重合时,线段$PQ$的长为______；
$(2)$当点$Q$和点$D$重合时,求$\sin \angle PQE$；
$(3)$当点$P$在边$AD$上运动时,$\triangle PQE$的形状始终是等腰直角三角形,如图②,请说明理由；
$(4)$作点$E$关于直线$PQ$的对称点$F$,连接$PF$、$QF$,当四边形$EPFQ$和矩形$ABCD$重叠部分图形为轴对称四边形时,直接写出$t$的取值范围.