【综合与实践】
【问题背景】几何学的产生,源于人们对土地面积测量的需要,可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘.我们已经掌握了平行四边形面积的求法,但是一般四边形的面积往往不易求得,那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢?
【问题解决】下面是两位同学的转化方法:
方法$1$:如图$1$,连接四边形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$,分别过四边形$ABCD$的四个顶点作对角线的平行线,所作四条线相交形成四边形$EFGH$,易证四边形$EFGH$是平行四边形.

$\left(1\right)$请直接写出$S_{四边形ABCD}$和$S_{四边形EFGH}$之间的数量关系:______.
方法$2$:如图$2$,取四边形$ABCD$四边的中点$E$,$F$,$G$,$H$,连接$EF$,$FG$,$GH$,$HE$,可以得出$S_{四边形ABCD}=2S_{四边形EFGH}$.
$(2)$求证:四边形$EFGH$是平行四边形；
【实践应用】如图$3$,某村有一个四边形池塘,它的四个顶点$A$,$B$,$C$,$D$处均有一棵大树,村里准备开挖池塘建鱼塘,想使池塘的面积扩大一倍,又想保持大树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状.
$(3)$请问能否实现这一设想?若能,请你画出你设计的图形；若不能,请说明理由.
$(4)$已知,在四边形池塘$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$交于点$O.AC=8cm$,$BD=6cm$,$\angle AOB=60^{\circ}$,则求四边形池塘$ABCD$的面积.