在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$,$B$分别在线段$OM$,$ON$上,如果存在点$P$使得$PA=PB$,且$\angle APB=\angle MON($点$P$,$A$,$B$逆时针排列）,则称点$P$是线段$AB$的"完美点".
如图$1$,点$P$是线段$AB$的"完美点".
$(1)$已知点$M\left(0,5\right)$,$N\left(7,0\right)$.
①在$P_{1}(3,3)$,$P_{2}(3,4)$,$P_{3}(5,2)$,$P_{4}(2,2)$中,其中是线段$AB$的"完美点"的是______；
②如图$2$,若点$A\left(0,3\right)$,点$B$与点$N$重合,则线段$AB$的"完美点"$P$的坐标是______.
$(2)$如图$3$,已知$OM=ON=5$,$\angle MON=60^{\circ}$,当点$A$与点$M$重合,点$B$在线段$ON$上运动时（点$B$不与点$O$重合),若点$P$是线段$AB$的"完美点",连接$PN$.求证:$PN$∥$OA.$