如图所示电路,电阻$R_{1}$、$R_{2}$并联接到电压为$U$的电源两端.闭合开关$S$后,通过电阻$R_{1}$、$R_{2}$的电流分别为$I_{1}$、$I_{2}$,电路的总电流为$I$.
$(1)R_{1}$、$R_{2}$并联后相当于一个电阻$R$,请推导证明:$\frac{1}{R}=\frac{1}{{R}_{1}}+\frac{1}{{R}_{2}}$.
$(2)$若电路中$R_{1}=20\Omega$,$R_{2}=30\Omega$,电源电压为$3V$.求:电路的总电流$I$.