某公司将新建的大门设计为一个抛物线型门,并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为$48m^{2}$,还要兼顾美观、大方,和谐、通畅等因素,设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中,如图所示:
方案一:如图$1$,抛物线型拱门的跨度$OG=8m$,拱高$EF=6m$.其中,点$G$在$x$轴上,$EF\bot OG$,$OF=FG$.
方案二:如图$2$,抛物线型拱门的跨度$OG\’=12m$,拱高${E\’}{F\’}=4m$其中,点${G\’}$在$x$轴上,${E\’}{F\’}\bot OG\’$,$OF\’={F\’}{G\’}$.
要在拱门中设置高为$3m$的矩形框架,其面积越大越好（框架的粗细忽略不计).方案一中,矩形框架$ABCD$的面积记为$S_{1}$,点$A$,$D$在抛物线上,边$BC$在$OG$上；方案二中,矩形框架${A\’}{B\’}{C\’}{D\’}$的面积记为$S_{2}$,点${A\’}$,${D\’}$在抛物线上,边${B\’}{C\’}$在$OG\’$上.现知,小明已正确求出方案二中,当${A\’}{B\’}=3$时,$S_{2}=18m^{2}$,请你根据以上提供的相关信息,解答下列问题:

$(1)$求方案一中抛物线的函数表达式；
$(2)$在方案一中,当$AB=3m$时,
①求矩形框架$ABCD$的面积$S_{1}$；
②比较$S_{1}$,$S_{2}$的大小,并给出公司最后确定用的是方案几.