如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象,$1$号指挥机（看成点$P)$始终以$3km/\min$的速度在离地面$5km$高的上空匀速向右飞行,$2$号试飞机（看成点$Q)$一直保持在$1$号机$P$的正下方.$2$号机从原点$O$处沿函数关系式为$h=s$的射线$OA$方向爬升,到$4km$高的$A$处便立刻转为水平飞行,再过$1\min$到达$B$处开始沿直线$BC$降落,要求$1\min$后到达高度为$3km$的点$C$处.
$(1)$求$2$号机的爬升速度；
$(2)$求$BC$的$h$关于$s$的函数关系式,并预计$2$号机着陆点的坐标；
$(3)$通过计算说明两机距离$PQ$不超过$3km$的时长是多少.