如图$1$,已知直线$l_{1}$:$y_{1}=kx-2$与坐标轴交于$A$、$H$两点,直线$l_{2}$:$y_{2}=2x+4$与$y$轴交于点$B$,且两直线交于点$C$,$C$点坐标为$\left(-4,n\right)$.
$(1)$求出$k$值.
$(2)$如图$2$,连接$AB$,求出$\triangle ABC$的面积.
$(3)$在（2）的前提下,平面内是否存在一点$(m,-\frac{1}{2}m)$,使得$\triangle ACD$与$\triangle ABC$面积相等?若存在,直接写出$m$的值；若不存在,请说明理由.
$(4)$如图$3$,已知点$P\left(0,-5\right)$,点$Q$在$x$轴的负半轴上运动,连接$PQ$,与直线$BC$交于点$E$,与直线$AC$交于点$F$,当$\triangle CEF$与$\triangle HPF$面积相等时,直接写出点$E$的坐标.