若直角三角形的三边的长都是正整数,则三边的长为"勾股数".构造勾股数,就是要寻找$3$个正整数,使它们满足"其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方",即满足以下关系:
$($ㅤㅤ）$^{2}+(ㅤㅤ)^{2}=(ㅤㅤ)^{2}$；①
或
$($ㅤㅤ）$^{2}-(ㅤㅤ)^{2}=(ㅤㅤ)^{2}$；②
要满足以上①、②的关系,可以从乘法公式入手,我们知道:
$(x+y)^{2}-\left(x-y\right)^{2}=4xy$.③
如果等式③的右边也能写成"（ㅤㅤ）$^{2}$"的形式,那么它就符合②的关系.
因此,只要设$x=m^{2}$,$y=1$,③式就可化成:$(m^{2}+1)^{2}-(m^{2}-1)^{2}=\left(2m\right)^{2}$.于是,当$m$为大于$1$的正整数时,"$m^{2}+1$,$m^{2}-1$和$2m$"就是勾股数,根据勾股数的这种关系式,就可以找出勾股数.
$(1)$当$m=4$时,该组勾股数是______；
$(2)$若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为$16$,求$m$的值；
$(3)$若一组勾股数中最大数是$a^{2}+6a+10(a$是任意正整数),则另外两个数分别为______$,\_\_\_\_\_\_.($分别用含$a$的代数式表示).