综合与探究
如图,二次函数$y=-x^{2}+bx+c$的图象与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于点$C$,点$A$的坐标为$\left(-4,0\right)$,且$OA=OC$,$E$是线段$OA$上的一个动点,过点$E$作直线$EF$垂直于$x$轴交直线$AC$和抛物线分别于点$D$、$F$.
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$(1)$求抛物线的解析式.
$(2)$设点$E$的横坐标为$m$.当$m$为何值时,线段$DF$有最大值,并写出最大值为多少；
$(3)$若点$P$是直线$AC$上的一个动点,在坐标平面内是否存在点$Q$,使以点$P$、$Q$、$B$、$C$为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由.