如图,在$\triangle ABC$中,$AB=BC=5$,$\triangle ABC$的面积为$\frac{15}{2}$,$AD$是边$BC$上的高,动点$P$从点$B$出发,以每秒$1$个单位长度的速度沿$BD-DA$匀速向终点$A$运动,点$P$不与点$A$、$B$重合,连接$AP$、$PC$.设点$P$的运动时间为$t$秒.
$(1)$求$AD$的长；
$(2)$用含$t$的代数式表示$PD$的长；
$(3)$在点$P$运动的过程中,不再添加其他辅助线的情况下,当图中存在等腰直角三角形时,求$\triangle ACP$的面积；
$(4)$点$P$在$BD$上运动,不再添加其他辅助线的情况下,当图中存在以点$P$为顶点的等腰三角形.且不是直角三角形时,直接写出$t$的值.