已知抛物线$y=ax^{2}+bx+3$与$x$轴交于$A$,$B$两点,与$y$轴交于$C$点,$OB=OC=3OA$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$如图$1$,已知点$P$为第一象限内抛物线上的一点,点$Q$的坐标为$\left(1,0\right)$,$\angle POC+\angle OCQ=45^{\circ}$；求点$P$的坐标；
$(3)$如图$2$,将抛物线平移到以坐标原点为顶点,点$T\left(1,-1\right)$在新抛物线上,过点$T$作$TM\bot TN$分别交新抛物线于$M$,$N$两点,求直线$MN$过定点的坐标.