$(1)$如图$1$,点$E$是正方形$ABCD$边$BC$上一点,连接$AE$,过点$B$作$BG\bot AE$交$AE$于点$F$,交$CD$于点$G$,则$BG$、$AE$的数量关系是:$BG \_\_\_\_\_\_AE$；$CG$、$BE$的数量关系是:$CG \_\_\_\_\_\_BE$；
$(2)$如图$2$,点$E$是正方形$ABCD$边$BC$上一点,连接$AE$,过点$E$作$EG\bot AE$交$CD$于点$G$,交$AB$延长线于点$M$,请探究线段$CG$、$BM$、$BE$之间的数量关系,并给出证明；
$(3)$当点$E$在$CB$的延长线上时,连接$AE$,过点$E$作$EG\bot AE$交$DC$的延长线于点$G$,交$AB$延长线于点$M$,请直接写出线段$CG$、$BM$、$BE$之间的数量关系.