已知二次函数$y=ax^{2}-2ax+a-4\left(a\neq 0\right)$.
$(1)$若二次函数的图象经过点$\left(3,0\right)$,求二次函数的解析式；
$(2)$在（1）的条件下,当$-1\leqslant x\leqslant 4$时,求二次函数的最大值与最小值；
$(3)$在（1）的条件下,若点$M(n-2$,$y_{1})$,$N(2n+3$,$y_{2})$在二次函数的图象上,且位于对称轴的两侧,当$y_{1} \gt y_{2}$时,求$n$的取值范围.