用总长$700cm$的木板制作矩形置物架$ABCD(如图)$.已知该置物架上面部分为正方形$ABFE$,下面部分是两个全等的矩形$DGMN$和矩形$CNMH$,中间部分为矩形$EFHG$.已知$DG=60cm$.
$(1)$当正方形$ABFE$边长为$80$时,$EG$的长为______$cm$；
$(2)$若设正方形的边长$AB=x cm$.置物架$ABCD$的高$AD$的长为______$cm($用含$x$的代数表示）；
$(3)$在（2）的条件下,为了便于放置物品,$EG$的高度不小于$20cm$,若矩形$ABCD$的面积为$12600cm^{2}$,求$x$的值.