如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx+3$交$y$轴于点$A$,且过点$B\left(-1,2\right)$,$C\left(3,0\right)$.
$(1)$求抛物线的函数解析式；
$(2)$将抛物线向左平移$m\left(m \gt 0\right)$个单位,当抛物线经过点$B$时,求$m$的值；
$(3)$若$P$是抛物线上位于第一象限内的一点,且$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ACP}$,求点$P$的坐标.