已知二次函数$y=x^{2}-ax+b$在$x=0$和$x=4$时的函数值相等.
$(1)$求二次函数$y=x^{2}-ax+b$图象的对称轴；
$(2)$过$P\left(0,2\right)$作$x$轴的平行线与二次函数$y=x^{2}-ax+b$的图象交于不同的两点$M$、$N$.当$MN=2$时,求$b$的值.