某数学兴趣小组开展了"笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系"的实践探究活动.如图,当张角为$\angle BAF$时,顶部边缘点$B$离桌面的高度$BC$为$7cm$,此时底部边缘点$A$与点$C$之间的距离$AC$为$24cm$.
$(1)$求$AB$的长度.
$(2)$若小组成员调整张角的大小继续探究,发现当张角为$\angle DAF$时（点$D$为点$B$的对应点）,顶部边缘点$D$离桌面的高度为$DE$,此时底部边缘点$A$与点$E$之间的距离$AE$为$15cm$,求此时电脑顶部边缘上升的高度.