如图,菱形$ABCD$的三个顶点$A$,$B$,$D$在$\odot O$上.
$(1)$①如图$1$,求证:圆心$O$在直线$AC$上；
②如图$1$,若$\angle BAD=60^{\circ}$,求证:$BC$是$\odot O$的切线.
$(2)$如图$2$,延长$CB$交$\odot O$于点$E$,若$AE=BE$,求$\angle BAD$的度数.
$(3)$如图$3$,延长$CB$交$\odot O$于点$E$,过点$D$作$DF\bot AB$于点$F$,若$\triangle ABE$的面积为$a$,$\triangle BDF$的面积为$b$,请用含有$a$,$b$的式子表示菱形$ABCD$的面积.