图$1$是一个瓷碗,图$2$是其截面图,碗体$DEC$呈抛物线状（碗体厚度不计）,碗口宽$CD=12cm$,此时面汤最大深度$EG=8cm$.
$(1)$当面汤的深度$ET$为$4cm$时,汤面的直径$PQ$长为______；
$(2)$如图$3$,把瓷碗绕点$B$缓缓倾斜倒出部分面汤,当$\angle ABM=45^{\circ}$时停止,此时碗中液面宽度$CH=\_\_\_\_\_\_.$