如图,在边长为$1$的小正方形网格中,$\triangle ABC$的三个顶点均在格点上,坐标分别为$A\left(2,4\right)$,$B\left(1,2\right)$,$C\left(5,3\right)$.请解答下列问题:
$(1)$画出$\triangle ABC$关于$y$轴的对称图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
$(2)$将$\triangle ABC$绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$,画出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$；
$(3)$连接$B_{1}B$、$B_{1}C_{2}$,写出$\angle BB_{1}C_{2}$的正切值.