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小明遇到这样一个问题:求计算$\left(x+2\right)\left(2x+3\right)\left(3x+4\right)$所得多项式的一次项系数.
小明想通过计算$\left(x+2\right)\left(2x+3\right)\left(3x+4\right)$所得的多项式解决上面的问题,但感觉有些繁琐,他想探寻一下,是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始,先找$\left(x+2\right)\left(2x+3\right)$所得多项式中的一次项系数.通过观察发现:

也就是说,只需用$x+2$中的一次项系数$1$乘以$2x+3$中的常数项$3$,再用$x+2$中的常数项$2$乘以$2x+3$中的一次项系数$2$,两个积相加$1\times 3+2\times 2=7$,即可得到一次项系数.
延续上面的方法,求计算$\left(x+2\right)\left(2x+3\right)\left(3x+4\right)$所得多项式的一次项系数.可以先用$x+2$的一次项系数$1$,$2x+3$的常数项$3$,$3x+4$的常数项$4$,相乘得到$12$；再用$2x+3$的一次项系数$2$,$x+2$的常数项$2$,$3x+4$的常数项$4$,相乘得到$16$；然后用$3x+4$的一次项系数$3$,$x+2$的常数项$2$,$2x+3$的常数项$3$,相乘得到$18$.最后将$12$,$16$,$18$相加,得到的一次项系数为$46$.
参考小明思考问题的方法,解决下列问题:
$(1)$计算$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)$所得多项式的一次项系数为______.
$(2)$计算$\left(x+1\right)\left(3x+2\right)\left(4x-3\right)$所得多项式的一次项系数为______.
$(3)$若计算$(x^{2}+x+1)(x^{2}-3x+a)\left(2x-1\right)$所得多项式的一次项系数为$0$,则$a=\_\_\_\_\_\_.$
$(4)$若$x^{2}-3x+1$是$x^{4}+ax^{2}+bx+2$的一个因式,则$2a+b$的值为______.