$(1)$对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$,当$b^{2}-4ac\geqslant 0$时,它的求根公式为______,求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根,而且反映了根与系数之间的关系.若方程的两个根为$x_{1}$,$x_{2}$,则满足:①$x_{1}+x_{2}=$______；②$x_{1}\cdot x_{2}=\_\_\_\_\_\_.($这也称作韦达定理,是由$16$世纪法国数学家韦达发现的).请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理；
知识应用:
$(2)$已知一元二次方程$2x^{2}-3x-1=0$的两根分别为$m$,$n$,求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值.