如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,利用尺规在$BC$、$BA$上分别截取$BE$、$BD$,使$BE=BD$；分别以点$D$和点$E$为圆心、以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧在$\angle CBA$内交于点$F$；作射线$BF$交$AC$于点$G$.
$(1)$连接$EF$、$DF$,通过证明$\triangle BEF$≌$\triangle DEF,$得到$\angle ABG=\angle CBG$,从而得到$BG$是$\angle ABC$的平分线,其中证明$\triangle BEF$≌$\triangle BDF$的依据是______$(填序号)$.
①$SAS$
②$ASA$
③$AAS$
④$SSS$
$(2)$当$\angle A=56^{\circ}$,$\angle BGC=$______；
$(3)$若$AC=3$,$BC=4$,$P$为$AB$上一动点,求$GP$的最小值.