某工厂车间内甲乙两人需要完成相同数量的产品包装工作.他们同时开始工作,$1$小时后甲离开车间一段时间后又返回车间继续工作,两人恰好同时完工.在包装过程中两人工效始终不变,且甲的工效为乙的两倍.设乙的加工时间为$x(时)$,甲包装的产品数量为$y_{1}($个）,乙包装的产品数量为$y_{2}($个）,其图象如图所示:
$(1)$求$y_{2}$与$x$之间的关系式；
$(2)$求$m$,$n$的值；
$(3)$当$x$为何值时,甲包装的产品数量比乙包装的产品数量少$20$个?