阅读下面材料,解答后面的问题.
解方程:$\frac{x-1}{x}-\frac{4x}{x-1}=0$.
解:设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程化为:$y-\frac{4}{y}=0$,
方程两边同时乘$y$得:$y^{2}-4=0$,
解得:$y_{1}=2$,$y_{2}=-2$.
经检验:$y_{1}=2$,$y_{2}=-2$都是方程$y-\frac{4}{y}=0$的解.
当$y=2$时,$\frac{x-1}{x}=2$,解得:$x=-1$；
当$y=-2$时,$\frac{x-1}{x}=-2$,解得:$x=\frac{1}{3}$.
经检验:$x_{1}=-1$或$x_{2}=\frac{1}{3}$都是原分式方程的解.
$\therefore$原分式方程的解为$x_{1}=-1$或$x_{2}=\frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题:
$(1)$若在方程$\frac{x-1}{4x}-\frac{x}{x-1}=0$中,设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程可化为:______；
$(2)$若在方程$\frac{x-1}{x+1}-\frac{4x+4}{x-1}=0$中,设$y=\frac{x-1}{x+1}$,则原方程可化为:______；
$(3)$模仿上述换元法解方程:$\frac{x-1}{x+2}-\frac{3}{x-1}-1=0$.