如图,抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$过点$A\left(3,2\right)$,且与直线$y=-x+\frac{7}{2}$交于$B$、$C$两点,点$B$的坐标为$\left(4,m\right)$.

$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$点$D$为抛物线上位于直线$BC$上方的一点,过点$D$作$DE\bot x$轴交直线$BC$于点$E$,点$P$为对称轴上一动点,当线段$DE$的长度最大时,求$PD+PA$的最小值；
$(3)$设点$M$为抛物线的顶点,在$y$轴上是否存在点$Q$,使$\angle AQM=45^{\circ}$?若存在,求点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由.