二次函数$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$的图象经过$\left(3,0\right)$点,当$x=1$时,函数的最小值为$-4$.
$(1)$求该二次函数的解析式；
$(2)$直线$x=m$与抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$和直线$y=x-3$的交点分别为点$C$,点$D$.
①当$m=-1$时,$CD=$______；
②结合函数的图象,直接写出$CD\geqslant 4$时$m$的取值范围______.