已知:把$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$按如图$1$摆放（点$C$与点$E$重合),点$B$、$C\left(E\right)$、$F$在同一条直线上,$\angle ACB=\angle EDF=90^{\circ}$,$\angle DEF=45^{\circ}$,$AC=8cm$,$BC=6cm$,$EF=9cm$,如图$2$,$\triangle DEF$从图$1$的位置出发,以$1cm/s$的速度沿$CB$向$\triangle ABC$匀速移动,在$\triangle DEF$移动的同时,点$P$从$\triangle ABC$的顶点$B$出发,以$2cm/s$的速度沿$BA$向点$A$匀速移动.当$\triangle DEF$的顶点$D$移动到$AC$边上时,$\triangle DEF$停止移动,点$P$也随之停止移动.$DE$与$AC$相交于点$Q$,连接$PQ$,设移动时间为$t\left(s\right)\left(0 \lt t \lt 4.5\right)$.解答下列问题:
$(1)$用含$t$的代数式表示线段$AP=$______；
$(2)$当$t$为何值时,点$E$在$\angle A$的平分线上?
$(3)$当$t$为何值时,点$A$在线段$PQ$的垂直平分线上?
$(4)$连接$PE$,当$t=1\left(s\right)$时,求四边形$APEC$的面积.