综合与实践:测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径.
工具:一张宽度为$2cm$的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺.
小明的测量方法:如图（2）,将硬纸板紧贴在杯口上,纸板的两个顶点$A_{0}$,$B_{0}$分别靠在杯口上,硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为$C_{0}$,$D_{0}$,利用刻度尺测得$B_{0}D_{0}$的长.
小亮的测量方法:如图（3）,将硬纸板紧贴在杯口上,纸板的一边与杯口相切,切点为$A$,另一边与杯口相交于$B$,$C$两点,利用刻度尺测得$BC$的长为$lcm$.

$(1)$小明认为,他所测量的$B_{0}D_{0}$的长就是杯口的直径,他用到的几何知识是______；
$(2)$请根据小亮的测量方法和所得数据,计算出杯口的直径（结果用含字母$l$的式子表示).