勾股定理的证明方法多种多样,我国古代数学家赵爽构造"弦图"证明了勾股定理,后人称其为"赵爽弦图"."赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形拼成.
如图$1$为赵爽弦图,其中$\angle AGB=\angle DFA=\angle CED=\angle BHC=90^{\circ}$,连结$AE$交$BG$于点$P$,连结$BE$,得到图$2$,若$\angle ABE=\angle AEB$.
$(1)$求证:$EF=DF$；
$(2)$若$EF=2$,求$PE$的长.