$(1)$我国著名的数学家赵爽,早在公元$3$世纪,就把一个矩形分成四个全等的直角三角形,用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图$1)$,这个矩形称为赵爽弦图,验证了一个非常要的结论:在直角三角形中两直角边$a$、$b$与斜边$c$满足关系式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.称为勾股定理.
证明:$\because$大正方形面积表示为$S=c^{2}$,又可表示为$S=$______
$\therefore \_\_\_\_\_\_=c^{2}$
$\therefore \_\_\_\_\_\_.$
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
$(2)$爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图$2)$,也能验证这个结论,请你帮助小明完成验证的过程,
$(3)$如图$3$所示,$\angle ABC=\angle ACE=90^{\circ}$,请你添加适当的辅助线证明结论$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.