我们知道,一次函数$y=x-1$的图象可以由正比例函数$y=x$的图象向下平移$1$个单位得到；也可以由正比例函数$y=x$的图象向右平移一个长度单位得到；函数$y=\frac{x}{x+1}$也可以由一个反比例函数通过平移得到,使用"描点法"作出函数$y=\frac{x}{x+1}$的图象,列表:恰当地选取自变量$x$的几个值,计算$y$对应的值.

$x$	$\ldots$	$-6$	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-\frac{2}{3}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$1$	$2$	$\ldots$
$y=\frac{x}{x+1}$	$\ldots$	$\frac{6}{5}$	$\frac{5}{4}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{3}{2}$	$2$	$-2$	$-1$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\ldots$

描点:以表中各对$x$、$y$的值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,连线:如图$1$,将图中直线$x=-1$两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来.

$(1)$观察图象并分析表格,回答下列问题:
①函数$y=\frac{x}{x+1}$的图象关于点______中心对称（填写点的坐标）；
②函数$y=\frac{x}{x+1}$的图象是由函数$y=-\frac{1}{x}$的图象经过怎样的平移变换得到的:______；
$(2)$若直线$y=kx+k+1\left(k \lt 0\right)$与函数$y=\frac{x}{x+1}$的图象相交于$P$,$Q$两点,点$P$的横坐标是$p$,若点$Q$的纵坐标是$q$,试探究代数式$pq-p+q$的值是否为定值?若是,直接写出这个定值；若不是,请说明理由.
$(3)$如图$2$,在平面直角坐标系中,点$O$为原点,矩形$OABC$的顶点$A$,$C$的坐标分别为$\left(9,0\right)$、$\left(0,3\right)$.点$D$是$OA$的中点,连结$OB$,$CD$交于点$E$,函数$y=\frac{ax+k}{x-6}$的图象经过$B$,$E$两点,过线段$BE$中点$M$的一条直线与这个函数的图象交于$P$,$Q$两点,若以$B$、$E$、$P$、$Q$为顶点组成的四边形面积为$9$,请直接函数$y=\frac{ax+k}{x-6}$的表达式和点$P$的坐标.