在$\triangle ABC$中,$AC=BC$,$D$为线段$AB$上一点,连接$CD$.
$(1)$如图$1$,若$\angle B=30^{\circ}$,$AC=AD$,过$A$作$AE\bot CD$于$O$,交$BC$于$E$,$CE=2$,求线段$BE$的长；
$(2)$如图$2$,过点$B$作$BF\bot CD$交$CD$延长线于点$F$,以$BC$为斜边在$\triangle ABC$的右侧作等腰直角$\triangle BCG$,过点$G$作$GH$∥$AB$,交$DC$的延长线于点$H$,$HC=FB$.猜想线段$AD$,$BD$,$CD$的数量关系,并证明你的猜想；
$(3)$如图$3$,$\angle ACB=60^{\circ}$,过$A$作$AQ\bot BC$于$Q$,作$\angle ACB$的角平分线交$AQ$于$M$,取$CM$的中点$N$,连接$QN$.点$K$为直线$BC$上的动点,连接$NK$,将$\triangle QKN$沿着$NK$所在直线翻折至$\triangle ABC$所在平面得到$\triangle {Q\’}KN$,连接$MQ\’$,取$MQ\’$中点$P$,连接$CP$.将$\frac{1}{2}CD$绕着点$D$顺时针旋转至直线$AB$上方$DR$处,使得$\angle BDR=\angle ACD$.当$CP$取得最小值时,连接$AP$,$PR$,$AR$,当$\triangle ARP$以$AP$为腰的等腰三角形时,请直接写出$\frac{DR}{AP}$的值.