对于二次函数$y=ax^2+(\frac{1}{2}-2a)x(a＜0)$,有下列说法:①对于任何满足条件的$a$,该函数的图象都经过点$\left(2,1\right)$和$\left(0,0\right)$两点；②若该函数图象的对称轴为直线$x=x_{0}$,则必有$1 \lt x_{0} \lt 2$；③当$x\geqslant 0$时,$y$随$x$的增大而增大；④若$P(4$,$y_{1})$,$Q(4+m$,$y_{2})(m \gt 0)$是图象上的两点,若$y_{1} \gt y_{2}$总成立,$a≤-\frac{1}{12}$.以上说法正确的是______$(填序号)$.