数学之美无处不在,利用某些有关联的直角三角形,我们可以画出如图所示的毕达哥拉斯螺旋线.
观察图形和式子,解答下列问题:
$OA_1^2=1$,
$OA_2^2=(\sqrt{1})^2+1=2$,$S_1=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$,
$OA_3^2=(\sqrt{2})^2+1=3$,$S_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$OA_4^2=(\sqrt{3})^2+1=4,S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\ldots$
$(1)OA_{12}=$______,$S_{n}=$______(用含$n$的代数式表示）；
$(2)$若在这组三角形中有一个三角形的面积是$\sqrt{5}$,则它是第______个三角形；
$(3)$求:$S_1^2+S_2^2+S_3^2+…+S_n^2$的值.