如图$1$,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$AD$为直径,过点$C$作$CE\bot AB$于点$E$,连接$AC$.
$(1)$求证:$\angle CAD=\angle ECB$；
$(2)$如图$2$,连结$OC$,若$OC\bot CE$,$\angle EAD=60^{\circ}$,$AC=2\sqrt{3}$,求$AD$、$AC$与弧$CD$围成阴影部分的面积.