如图,直径为$10$的$\odot E$与$y$轴交于$A$、$B$两点,与$x$轴交于点$C\left(-1,0\right)$、$D\left(7,0\right)$,$OE$的延长线与圆$E$交于点$G$,点$M$是线段$OE$上一个动点,作$NM\bot OG$于$y$轴交于点$N$,连接$MB$.
$(1)$求点$E$的坐标；
$(2)$设$MO$的长为$x$,$\triangle BMN$的面积为$y$,求$y$关于$x$的函数表达式；并探索$\triangle BMN$的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由；
$(3)$连接$BG$、$GD$、$DM$得四边形$BGDM$,直接写出当四边形$BGDM$为菱形时$OM$的长:______.