$1$号探测气球从海拔$10m$处出发,以$1m/\min$的速度竖直上升.与此同时,$2$号探测气球从海拔$20m$处出发,以$am/\min$的速度竖直上升.两个气球都上升了$1h.1$号、$2$号气球所在位置的海拔$y_{1}$,$y_{2}($单位:$m)$与上升时间$x($单位:$\min )$的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题:
$(1)a=$______,$b=$______；
$(2)$请分别求出$y_{1}$,$y_{2}$与$x$的函数关系式；
$(3)$当上升多长时间时,两个气球的海拔竖直高度差为$5m$?