如图,抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+c$与坐标轴交于$A$,$B$,$C$三点,其中点$B$和点$C$的坐标分别为$\left(2,0\right)$和$\left(0,-5\right)$.
$(1)$求抛物线的解析式.
$(2)$求线段$AB$的长.
$(3)$如图$2$,$P$为抛物线第三象限上的一个动点,过点$P$作$PH$∥$x$轴,交$y$轴于点$H$,连接$PC$,$PB$,$PB$与$y$轴交于点$D$.设点$P$的横坐标为$t$,$\triangle CPD$的面积为$S$,求$S$与$t$之间的函数关系式（不用写出$t$的取值范围）,并直接写出当$OH:HC=3:2$时,$S$的值.