如图,在平面直角坐标系中,点$A$的坐标为$\left(-2,2\right)$,点$B$与点$A$关于$x$轴对称,点$B$先向右平移$4$个单位长度,再向上平移$2$个单位长度得到点$C$.
$(1)$描出点$B$和点$C$,并依次连接$AB$、$BC$、$CA$,得到$\triangle ABC$；
$(2)$将（1）中的$\triangle ABC$的各顶点的横坐标和纵坐标都乘$\frac{3}{2}$,得到点$A$的对应点$A_{1}$,点$B$的对应点$B_{1}$,点$C$的对应点$C_{1}$,在平面直角坐标系中描出点$A_{1}$、$B_{1}$、$C_{1}$,并依次连接$A_{1}B_{1}$、$B_{1}C_{1}$、$C_{1}A_{2}$,得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
$(3)$在（2）的条件下,$\frac{{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}}{{S}_{△ABC}}=\_\_\_\_\_\_.$