如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$与$x$轴交于点$A\left(-1,0\right)$,点$B\left(3,0\right)$,与$y$轴交于点$C\left(0,-3\right)$.

$(1)$求抛物线的表达式；
$(2)$点$M$是抛物线上一点,点$N$是抛物线对称轴上一点,是否存在点$M$使以$B$,$C$,$M$,$N$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.
$(3)$点$P$是抛物线对称轴上的一点,点$Q$是对称轴左侧抛物线上的一点,当$\triangle PQB$是以$PB$为腰的等腰直角三角形时,请直接写出点$Q$的坐标______.