在平面直角坐标系中,如果点$P$的横坐标和纵坐标相等,则称点$P$为和谐点.例如:点$\left(1,1\right)$,$\left(0,0\right)$,$(-\frac{1}{3}$,$-\frac{1}{3})$,$\ldots \ldots$都是和谐点.
$(1)$判断二次函数$y=x^{2}-2$的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标；
$(2)$若二次函数$y=ax^{2}+2x+c\left(a\neq 0\right)$的图象上有且只有一个和谐点$\left(1,1\right)$.
①求这个二次函数的表达式；
②若$0\leqslant x\leqslant m$时,函数$y=ax^2+2x+c+\frac{3}{2}(a≠0)$的最小值为$1$,最大值为$3$,求实数$m$的取值范围.(可通过画出函数图象草图来求解）