已知$\odot O$经过四边形$ABCD$的$B$,$D$两个顶点,并与四条边分别交于点$E$,$F$,$G$,$H$,且$\widehat {EF}=\widehat {GH}$.
$(1)$如图$1$所示,连结$BD$,若$BD$是$\odot O$直径,求证:$\angle A=\angle C$；
$(2)$如图$2$所示,若$\angle A=x$,$\angle C=y$,弧$EF$的度数为$m$,请写出$x$,$y$,$m$之间的数量关系,并说明理由.