如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,$AC=40cm$,$\angle C=30^{\circ}$.点$D$从点$C$出发沿$CA$方向以$2cm/s$的速度向点$A$匀速运动,同时点$E$从点$A$出发沿$AB$方向以$1cm/s$的速度向点$B$匀速运动,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.设点$D$,$B$运动的时间是$t\left(0 \lt t\leqslant 20s\right)$,过点$D$作$DF\bot BC$于点$F$,连接$DE$,$EF$.

$(1)$用含$t$的代数式表示$DA=$______,$DF=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$是否存在某一时刻$t$,使点$F$在线段$AC$的中垂线上?若存在,请求出$t$值；若不存在,请说明理由.
$(3)$当$t$为______时,$\triangle ADB$为直角三角形.(直接写答案）
$(4)$是否存在某一时刻$t$,使$\triangle DEF$的面积是$\triangle ABC$面积的$\frac{6}{25}$,若存在,请求出$t$值；若不存在,请说明理由.