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因式分解:$\left(x+y\right)^{2}+2\left(x+y\right)+1$.
解:将"$x+y$"看成整体,令$x+y=A$,则原式$=A^{2}+2A+1=\left(A+1\right)^{2}$.再将"$A$"还原,可以得到:原式$=\left(x+y+1\right)^{2}$.
上述解题用到的是"整体思想",整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,问题解决:
$(1)$因式分解:$1+6\left(x-y\right)+9\left(x-y\right)^{2}$；
$(2)$因式分解:$(a^{2}-4a+1)(a^{2}-4a+7)+9$；
$(3)$证明:若$n$为正整数,则代数式$\left(n+1\right)\left(n+2\right)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某个整数的平方.