在平面直角坐标系$xOy$中,存在抛物线$y=mx^{2}+2$以及两点$A\left(-3,m\right)$和$B\left(1,m\right)$.
$(1)$求该抛物线的顶点坐标；
$(2)$若该抛物线经过点$A\left(-3,m\right)$,求此抛物线的表达式；
$(3)$若该抛物线与线段$AB$只有一个公共点,结合图象,求$m$的取值范围.