定义:使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的"理想解".例如:
已知方程$2x-1=1$与不等式$x+1 \gt 0$,当$x=1$时,$2x-1=2\times 1-1=1$,$1+1=2 \gt 0$同时成立,则称"$x=1$"是方程$2x-1=1$与不等式$x+1 \gt 0$的"理想解".
问题解决:
$(1)$请判断方程$3x-5=4$的解是此方程与以下哪些不等式（组）的"理想解"______(直接填写序号).
①$2x-3 \gt 3x-1$,②$2\left(x-1\right)\leqslant 4$,③$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ x-2≤1\end{array}\right.$；
$(2)$若$\left\{\begin{array}{l}x=m\\ y=n\end{array}\right.$是方程组$\left\{\begin{array}{l}x+2y=6\\ 2x+y=3q\end{array}\right.$与不等式$x+y \gt 1$的"理想解",求$q$的取值范围.